Os 3 grandes paradoxos que tiram o sono de matemáticos e filósofos

2018-01-14 17:03:00

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Esta frase é falsa.

Este é um dos paradoxos mais populares e ilustrativos: se é realmente falsa, o que a frase enuncia é verdadeiro, mas se a falsidade enunciada é real, a frase não pode ser falsa.

Paradoxo vem das palavras em latim e grego que significam "o contrário da opinião comum" e é, de acordo com o dicionário Houaiss:

1. Proposição ou opinião contrária ao comum;

2. Aparente falta de lógica ou nexo; contradição.

Há vários tipos, mas o que eles geralmente têm em comum é o fato de conseguirem nos fazer parar e pensar, mesmo por um momento. Como quando se lê a frase "para chegar rápido, nada melhor do que ir devagar".

Outras nos acompanharam por anos, às vezes séculos, e algumas têm impulsionado importantes avanços em ciência, filosofia e matemática.

Ainda é seu navio?

Mudança e identidade. Sobre isso nos fez refletir o historiador, biógrafo e filósofo grego Plutarco (46 – 120 d.C.) durante quase 2.000 anos com o paradoxo de Teseu, o mítico rei fundador de Atenas, filho de Etra e Eseo, ou, segundo outras lendas, de Poseidon.

"O navio em que Teseu e a juventude de Atenas retornaram de Creta tinha trinta remos e foi conservado pelos atenienses até o tempo de Demetrio de Falero. Suas tábuas antigas foram removidas à medida em que introduziram novas madeiras e mais resistentes em seu lugar, de modo que o navio se tornou um exemplo permanente entre filósofos para discutir a questão lógica das coisas que crescem. Um lado sustenta que o navio permanece o mesmo, e o outro diz que não".

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Se o navio fosse preservado pelos atenienses até o tempo de Demetrius de Phalerus, isso significaria cerca de 300 anos.

Com tantas reformas, o navio era o mesmo?

E foi além. Se com a madeira velha construíssem outro barco idêntico, qual dos dois seria o original: aquele com as placas originais ou aquele que foi restaurado?

O movimento não existe

Para ir a qualquer lugar, você deve percorrer primeiro a metade da distância, logo, a metade da distância que falta percorrer, depois, a metade da distância que falta, e assim até o infinito, então você nunca chegará lá.

Este é mais um da série de paradoxos do movimento que o filósofo grego Zenão de Elea criou para demonstrar que o Universo é singular e que a mudança, inclusive o movimento, é impossível, como argumentou o professor Parmênides.

Se te parecer absurdo, você não está sozinho: foi rejeitado por anos.

No entanto, a matemática ofereceu uma solução formal no século 19 que foi aceitar que 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… somam 1.

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Embora essa solução teórica atinja determinados propósitos, não respondeu o que estava acontecendo na realidade: como algo pode chegar ao seu destino.

Isso, que entendemos intuitivamente porque o experimentamos diariamente, é mais complexo e, para resolvê-lo, tivemos que esperar até o século 20 para usar teorias que mostrem que a matéria, o tempo e o espaço não são infinitamente divisíveis.

Aquele que fez a matemática cambalear

Agora que já esquentamos os motores, vamos falar sobre um paradoxo que abalou a comunidade matemática no início do século 20, incluindo aquele que o formulou: o filósofo, matemático, lógico e escritor britânico vencedor do Prêmio Nobel de Literatura Bertrand Russell.

Russell era um dos que estavam impulsionando o logicismo – a tese filosófica que diz que a matemática, ou a maior parte dela, pode ser reduzida à lógica.

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Esse projeto incluía em sua base a teoria de conjuntos de Cantor-Frege. Ambos, o alemão Georg Cantor e seu compatriota Gotlob Frege, assumiram que todo predicado definia um conjunto. Assim, o predicado "ser de ouro" define o conjunto de todas as coisas que são de ouro.

Soa mais do que óbvio.

Mas Russell descobriu que havia um predicado particular que contradisse a teoria: "não pertence a si mesmo".

Esse é o paradoxo de Russell, e é complexo, mas felizmente encontramos uma das explicações mais claras, criada por M. Carmen Márquez García para um curso de Saem Thales – Formação à Distância pela Internet.

Suponhamos que um conhecido especialista em obras de arte decida classificar os quadros de todo o mundo em uma das duas categorias mutuamente excludentes.

Uma categoria, de poucos quadros, consiste em todas as pinturas que incluem uma imagem de si mesma na cena apresentada na tela. Por exemplo, podemos pintar um quadro, intitulado "Interior", de uma sala e seus móveis – obras penduradas, uma estátua, um piano de cauda – que inclui, pendurado acima do piano, uma pequena pintura da pintura "Interior". Assim, nossa tela incluiria uma imagem de si mesma

A outra categoria, muito mais comum, consistiria em todos os quadros que não incluem uma imagem de si mesmo. Chamaremos essas obras de "pinturas de Russell". A Mona Lisa, por exemplo, é uma pintura de Russell porque não tem dentro dela mesma uma pequena pintura da Mona Lisa.

Suponhamos também que nosso especialista em arte reúna em uma enorme exposição todas as pinturas de Russell do mundo. Depois de imensos esforços, ele as reúne e as pendura em uma sala enorme.

Orgulhoso de sua façanha, o especialista instrui um artista a pintar uma imagem da sala e seu conteúdo.

Quando a pintura ficar pronta, o artista a intitula, com toda propriedade, de "Todas as pinturas de Russell do mundo".

O galerista examina cuidadosamente a pintura e descobre uma pequena falha: na tela, ao lado da pintura da Mona Lisa, há uma representação de "Todas as pinturas de Russell do mundo". Isso significa que "Todas as pinturas do mundo" é uma imagem que inclui uma imagem de si mesma e, portanto, não é uma pintura de Russell. Consequentemente, não pertence à exposição e certamente não deve estar pendurado na parede.

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O especialista pede ao artista para apagar a pequena representação.

O artista a apaga e retorna para mostrar a imagem ao especialista. Depois de examiná-la, ele percebe que há um novo problema: a pintura "Todas as pinturas de Russell do mundo" agora não inclui uma imagem de si mesma e, portanto, é uma pintura de Russell, que deveria pertencer à exposição. Consequentemente, deve ser pintado e pendurado em alguma parte das paredes, para que o trabalho não inclua todas as pinturas de Russell.

O especialista chama o artista novamente e pede que ele retoque com uma pequena imagem o "Todas as pinturas de Russell do mundo".

Mas uma vez que a imagem foi adicionada, estamos novamente no início da história. A imagem deve ser apagada, posteriormente deve ser pintada e depois excluída, e assim por diante.

Eventualmente, o artista e o especialista perceberão que algo não está funcionando: eles encontraram o paradoxo de Russell.

Tendo em mente que Russell estava tentando reduzir a matemática para a lógica e o que ele descobriu foi uma brecha nos fundamentos da ciência, sua reação não surpreende.

"Eu sentia sobre essas contradições o mesmo que deve sentir um católico fervoroso sobre papas indignos".

Mas não tinha volta: as descobertas não poderiam voltar a ser cobertas novamente.

Embora para alguns matemáticos o assunto era indiferente e não merecia muita reflexão, outros dedicaram a maior parte do seu trabalho intelectual na primeira metade do século 20 a superar o paradoxo de Russell… até que se decidiu que um conjunto que contenha a si mesmo realmente não é um conjunto.

A solução não agradou a muitos, nem mesmo a Russell.

M. Carmen Márquez García diz que "a tensão intelectual e sua conclusão desanimadora cobraram um preço muito caro".

Russell lembraria como depois disto ele "se afastou da lógica matemática com uma espécie de náusea".

Ele voltou a pensar em suicídio, mas decidiu não concretizá-lo porque, observou ele, certamente se arrependeria.